Applied Numerical Analysis Using MATLAB, 2/e (Hardcover)

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內容描述

Description

This text is appropriate for undergraduate courses
on numerical methods and numerical analysis found in engineering, mathematics
& computer science departments.
 
Each chapter uses introductory problems from specific
applications. These easy-to-understand problems clarify for the reader the
need for a particular mathematical technique. Numerical techniques are
explained with an emphasis on why they work.
 
Table of
Contents

Preface
 
1 Foundations 1
1.1 Introductory Examples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Nonlinear Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Linear Systems . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Numerical
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Useful Background . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Results from
Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Results from Linear
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 A Little Information
about Computers . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Some Basic Issues . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Error . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Convergence . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Getting Better
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Using MATLAB . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1 Command Window
Computations . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 M-Files . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Programming in
MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.4 Matrix
Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
 
2 Functions of One
Variable 47
2.1 Bisection Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Secant-Type Methods .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1 Regula Falsi . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2 Secant Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Analysis . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Newton’s Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Muller’s Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Minimization . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1 Golden-Section
Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 Brent’s Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6 Beyond the Basics . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1 Using MATLAB’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2 Laguerre’s Method .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.3 Zeros of a Nonlinear
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
 
3 Solving Linear Systems:
Direct Methods 95
3.1 Gaussian Elimination .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1 Basic Method . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.2 Row Pivoting . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Gauss-Jordan . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.1 Inverse of a Matrix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3 Tridiagonal Systems .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4 Further Topics . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.1 MATLAB’s Methods . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.2 Condition of a
Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.3 Iterative Refinement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
 
4 LU and QR Factorization
135
4.1 LU Factorization . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.1 Using Gaussian
Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.2 Direct LU
Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1.3 Applications . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2 Matrix Transformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2.1 Householder
Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.2 Givens Rotations . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3 QR Factorization . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3.1 Using Householder
Transformations . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3.2 Using Givens
Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.4 Beyond the Basics . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4.1 LU Factorization
with Implicit Row Pivoting . . . . . . . . . 168
4.4.2 Efficient Conversion
to Hessenberg Form . . . . . . . . . . . . 170
4.4.3 Using MATLAB’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
 
5 Eigenvalues and
Eigenvectors 179
5.1 Power Method . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.1.1 Basic Power Method .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.1.2 Rayleigh Quotient .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.1.3 Shifted Power Method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.1.4 Accelerating
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2 Inverse Power Method .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2.1 General Inverse
Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2.2 Convergence . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3 QR Method . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.3.1 Basic QR Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.3.2 Better QR Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.3.3 Finding Eigenvectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.4 Accelerating
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4 Further Topics . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4.1 Singular Value
Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4.2 MATLAB’s Methods . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
 
6 Solving Linear Systems:
Iterative Methods 213
6.1 Jacobi Method . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2 Gauss-Seidel Method .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.3 Successive
Over-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.4 Beyond the Basics . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4.1 MATLAB’s Built-In
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4.2 Conjugate Gradient
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4.3 GMRES . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.4.4 Simplex Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
 
7 Nonlinear Functions of
Several Variables 251
7.1 Nonlinear Systems . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.1.1 Newton’s Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.1.2 Secant Methods . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.1.3 Fixed-Point
Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.2 Minimization . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.2.1 Descent Methods . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.2.2 Quasi-Newton Methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.3 Further Topics . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.3.1 Levenberg-Marquardt
Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.3.2 Nelder-Mead Simplex
Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.4 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
 
8 Interpolation 275
8.1 Polynomial
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.1.1 Lagrange Form . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.1.2 Newton Form . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
8.1.3 Difficulties . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.2 Hermite Interpolation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.3 Piecewise Polynomial
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.3.1 Piecewise Linear
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.3.2 Piecewise Quadratic
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.3.3 Piecewise Cubic
Hermite Interpolation . . . . . . . . . . . . . 304
8.3.4 Cubic Spline
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4 Beyond the Basics . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.4.1 Rational-Function
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.4.2 Using MATLAB’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
 
9 Approximation 333
9.1 Least-Squares
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.1.1 Approximation by a
Straight Line . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.1.2 Approximation by a
Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.1.3 General
Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . 346
9.1.4 Approximation for
Other Functional Forms . . . . . . . . . . 348
9.2 Continuous
Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.2.1 Approximation Using
Powers of x . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.2.2 Orthogonal
Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.2.3 Legendre Polynomials
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.2.4 Chebyshev
Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.3 Function Approximation
at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.3.1 Pad´e Approximation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.3.2 Taylor Approximation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.4 Further Topics . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.4.1 Bezier Curves . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.4.2 Using MATLAB’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
 
10 Fourier Methods 373
10.1 Fourier Approximation
and Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.1.1 Derivation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.1.2 Data on Other
Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.2 Radix-2 Fourier
Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.2.1 Discrete Fourier
Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.2.2 Fast Fourier
Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.2.3 Matrix Form of FFT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.2.4 Algebraic Form of
FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.3 Mixed-Radix FFT . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.4 Using MATLAB’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
 
11 Numerical
Differentiation and Integration 405
11.1 Differentiation . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.1.1 First Derivatives .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.1.2 Higher Derivatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.1.3 Partial Derivatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
11.1.4 Richardson
Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.2 Numerical Integration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.2.1 Trapezoid Rule . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.2.2 Simpson’s Rule . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.2.3 Newton-Cotes Open
Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.2.4 Extrapolation
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.3 Quadrature . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.3.1 Gaussian Quadrature
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
11.3.2 Other Gauss-Type
Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
11.4 MATLAB’s Methods . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.4.1 Differentiation . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.4.2 Integration . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
 
12 Ordinary Differential
Equations: Fundamentals 445
12.1 Euler’s Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
12.1.1 Geometric
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
12.1.2 Approximating the
Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.1.3 Approximating the
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
12.1.4 Using Taylor Series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.2 Runge-Kutta Methods .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12.2.1 Second-Order
Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 452
12.2.2 Third-Order
Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 457
12.2.3 Classic Runge-Kutta
Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.2.4 Fourth-Order
Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 462
12.2.5 Fifth-Order
Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . 464
12.2.6
Runge-Kutta-Fehlberg Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
12.3 Multistep Methods . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
12.3.1 Adams-Bashforth
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
12.3.2 Adams-Moulton
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
12.3.3 Adams
Predictor-Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . 480
12.3.4 Other
Predictor-Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . 485
12.4 Further Topics . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
12.4.1 MATLAB’s Methods .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
12.4.2 Consistency and
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
12.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
 
13 ODE: Systems,
Stiffness, Stability 499
13.1 Systems . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
13.1.1 Systems of Two ODE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
13.1.2 Euler’s Method for
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
13.1.3 Runge-Kutta Methods
for Systems . . . . . . . . . . . . . . . 512
13.1.4 Multistep Methods
for Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
13.1.5 Second-Order ODE .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
13.2 Stiff ODE . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
13.2.1 BDF Methods . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
13.2.2 Implicit
Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.3 Stability . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
13.3.1 A-Stable and
Stiffly Stable Methods . . . . . . . . . . . . . . 532
13.3.2 Stability in the
Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13.4 Further Topics . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
13.4.1 MATLAB’s Methods
for Stiff ODE . . . . . . . . . . . . . . . 536
13.4.2 Extrapolation
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
13.4.3 Rosenbrock Methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
13.4.4 Multivalue Methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
13.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
 
14 ODE: Boundary-Value
Problems 561
14.1 Shooting Method . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
14.1.1 Linear ODE . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
14.1.2 Nonlinear ODE . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
14.2 Finite-Difference
Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
14.2.1 Linear ODE . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
14.2.2 Nonlinear ODE . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
14.3 Function Space
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
14.3.1 Collocation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
14.3.2 Rayleigh-Ritz . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
14.4 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
 
15 Partial Differential
Equations 593
15.1 Heat Equation:
Parabolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
15.1.1 Explicit Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
15.1.2 Implicit Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
15.1.3 Crank-Nicolson
Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
15.1.4 Insulated Boundary
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
15.2 Wave Equation:
Hyperbolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
15.2.1 Explicit Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
15.2.2 Implicit Method . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
15.3 Poisson Equation:
Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
15.4 Finite-Element Method
for Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . 622
15.4.1 Defining the
Subregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
15.4.2 Defining the Basis
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
15.4.3 Computing the
Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
15.4.4 Using MATLAB . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
15.5 Chapter Wrap-Up . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Bibliography 643
 
Answers 653
 
Index
667